三维中的坐标系如何转换
本文核心词：
0x00 前言
大家吼啊，我们又见面了！这次我们要说说三维中的坐标系如何转换。但是那，在这之前我们需要先知道二维中的怎么转换。这样便更容易清楚三维中的坐标系如何转换啦。注意！文章中的转换都使用齐次坐标。如果不明白什么是齐次坐标，请看看上一篇科普专栏。如果不懂矩阵，可以先阅读高中数学。
0x01 二维坐标系的变换
对于点P‘我们有2个坐标系来表示他的位置
这里有个点P’我们不难看出来，它的位置可以用（x，y）和（x，y）来表达。当然，我们也可以根据上一章说到的方式可以得到
|x‘ || x ||1 0Δx |
| y’ | = | y | | 01Δy |
| 1 || 1 ||0 01 |
这个我觉得不需要过多的解释了，非常容易理解。那么，二维中的旋转我们应该如何理解呢？
对于某点（x，y）的作图
我们假设点（x，y）的原坐标系X,Y绕原点旋转了Θ度，对此我们可以得到一个变换矩阵：
|cosΘ sinΘ0 |
R（Θ）=|cosΘ -sinΘ0 |
|001 |
也就是原坐标和旋转后坐标的关系是:
|x’ ||x ||cosΘsinΘ0 |
|y‘ | = |y||cosΘ -sinΘ0|
|1 ||1 || 001 |
嗯，至少到此为止，我们的进展都很顺利。但是很不幸的，在三维里面，你能拿到的往往都不是你现在能获得到的旋转角度Θ。换句话说，在三维里面，你可能需要2个旋转角Θ才能完成坐标系的旋转。这样岂不是太麻烦了？
0x02 在二维旋转中找找其他的方式
我们来试试看物理的方式？我们将两个坐标系看成两个力，将他们进行分解试试看：
生成的3个矢量（x+y），y和x
我们先将（x+y）这个力也分解成x’，y’这2个力，这时候我们来看看原来的变换矩阵：
|x’ ||x | |cosΘsinΘ0 |
|y‘ | = |y| |cosΘ -sinΘ0|
|1 ||1 ||001 |
如果你是一个数学和物理都不错的人，那么你应该会发现，第一列（cosΘ，sinΘ，0）和第二列（cosΘ，-sinΘ，0）这两个都正好是新坐标x’，y’在原坐标中的方向矢量，而且是正交的单位矢量。
正交的单位矢量也意味着什么呢？这也表明了，这正好是变换中，新坐标的单位矢量。我们这时候就可以使用这样的单位矢量来进行变换了。将这个理念代入三维中试试看？
0x03 三维的坐标系变换
2个坐标系，其中(X,Y,Z)为新坐标原点
这时候我们便可以将（x，y，z）这个坐标系的三个方向矢量分别规格化，对此我们就可以得到用原坐标系定义的3个正交单位矢量。
u=（ux，uy，uz）
v=（vx，vy，vz）
w=（wx，wy，wz）
对此我们可以将新坐标原点位置（x，y，z）加以利用，便可以得到变换矩阵：
T3（表示平移）XR3（表示旋转）
|1000 | |uxvxwx0|
= |0100| |uyvywy0 |
|0010| |uzvzwz0|
|-x-y-z1| |0001 |
搞定，这样就能够十分简单的进行三维中坐标系之间的变换了！