胡说数学小学数学100问 2 除法意义 再理解深刻一些
本文核心词：
【例题】有一位学生计算一道小数除法题1.7÷0.2时是这样解答的：1.7÷0.2=17÷2=8……1.你认为他做的对吗？如果不对，请分析错在何处？写出你的想法？
胡老师知道，这种问题经常会以判断或者选择形式考察，但是很多学生不明白除法背后的意义的话，就很容易在一些问题中糊涂，比如说，12元钱，买5个苹果，每个苹果多少钱？每元钱能买多少个苹果？
再比如：“小强走一段a米的路程，小强的走完a米的路用的时间为b分子，那么问题来了，问：a÷b是什么意思？b÷a又是什么意思？”你能解释吗？
等分除与包含除是孪生兄弟
在数学上，是借助乘法来定义除法。已知两个数a,b求一个数c，使得a=b×c,这种运算叫做除法。记作：a÷b=c,也就是被除数÷除数=商。
如果我们把乘法定义为“自身连加”，那么除法就是“连减”，比如12÷4=3，可以理解为12-4-4-4=0，12每次减去4，减3次为0（12包含了3个4），除法的“包含”的意义。
除法我们经常定义为“平均分”，也就是“等分除”，其实我们还会经常的大量用“包含除”的概念。
比如：等分除，把12个苹果分给3个小朋友，每人分了几个？列式为：12÷3=4，其中4表示每人分得苹果。
再比如：包含除，12个苹果，每人分4个，可以分给几个人？列式：12÷4=3，其中3表示3个人，也就是12包含了3个4.
这是两种不同意义的除法，这两种除法，是同一个“平均分物”数学模型产生的，地位平等。是同一个情境里的两类互相依存的除法问题。
1、12元钱，买5个苹果，每个苹果多少钱？每元钱能买多少个苹果？
解：12÷5代表每个苹果多少钱，12÷5属于“平均分，等分除”；12÷2.4表示包含除，12元，每2.4元一份，共5份（苹果）；5÷12表示等分除，可以理解把5个苹果分成12份，每份5/12个，也就是一元钱可以买多少个苹果。
2、“小强走一段a米的路程，小强的走完a米的路用的时间为b分钟，那么问题来了，问：a÷b是什么意思？b÷a又是什么意思？”你能解释吗？
解：比如走500米的路用的时间是5分钟，500÷5表示把500米分成5等分，每分钟100米；500÷100表示500米，每100米一份，总共分了5份；5÷500表示：5分钟平均分到500米中，1米走了1/100分钟；
这两个题对“等分除”与“包含除”要深刻理解外，对具体意义的量的转化也要得心应手，比如路程，速度，时间；单价，数量，总价这些量词的关系理解。
但是，在自然数范围内，除法不一定总是可以进行，也就是商不一定存在。（比如5÷3=5/3,5和3是自然数，但是5/3这个商不是自然数，在自然数范围内分数5/3不符合自然数这个集合）。
“平均分”的情境适合整数的除法，平均分给某些人，某几个班，某几个小组等，“人，班，组”的数量都是自然数。对于分数除法就不太适合了，比如我们总不能说把1块饼干分给1/3人吧！
当然对于小数，分数的除法运算一般我们用“包含除”的情境比较普遍，但是如果是2.5÷5或者1/4÷4，这样小数，分数分别除以整数的时候，是可以进行平均分的。
所以，除数为整数的时候，被除数为整数，小数，分数都可以理解为平均分，当然也可以理解为包含除；不过如果除数的小数或者分数的时候，我们往往理解为包含除，这都是鉴于现实意义出发的。
整除与带余除法
我们可以把除法进行合理分类：1. 整除问题：
在整数范围内，对于三个整数a,b（b不等于0），c;如果a÷b=c,我们可以称之为“整除”，也就是说a能被b整除，或者b能整除a；比如：8能被4整除，4能整除8.在整数范围内，a,b,c都是整数且没有余数，叫整除。
但是12÷5=2.4，或者12÷5=2……2，这两个叫做非整除；第一个商为小数，第二个有余数，都不是整除。第一个可以说是除尽，而不能说整除。
2.带余除法：
在做除法时，有时候得不到整数商，比如12÷5，就没办法得到整数商。12÷5如果没有余数的话，就是12÷5=2.4或者12/5;商可以为小数或者分数，但是如果我们的情境是分东西：
11个苹果，平均分给3个人，每人分3个，还剩下2个不够平均分，就剩余了。（11÷3=3……2），这就产生了带余除法。
可以看到，带余除法在定义的时候，是源于现实生活的，我们定义：余数的概念只是对整数除法而言的，是整数除法的衍生概念。
已知整数a,b,q,r，使得：a÷b=q……r(b＞r)，这样的运算叫作带余除法。
如果r=0的时候，那么带余除法就转化为整除了。
在a÷b=c，a÷b=q……r(b＞r)中，商和余数存在是唯一性的。
从数的扩充的角度思考：起初是10÷5=2，都是整数；但是11÷5出现的时候，就产生了不够分的冲突，所以就产生了分数与小数。所以11÷5=11/5或者2.2；但是分东西的时候不想出现分数或小数的时候，我们就可以理解为：11÷5=2……2,具备很强的现实意义，在人的漫长的时间里，人选择了适合自己当下的方式，这就是优化，适者生存在数学里也比比皆是。
解疑答惑
【题目】有一位学生计算一道小数除法题1.7÷0.2时是这样解答的：1.7÷0.2=17÷2=8……1.你认为他做的对吗？如果不对，请分析错在何处？
解答：这个问题显然是错的，很多学生会问：老师你看，1.7÷0.2=17÷2，根据商不变的规律，没问题啊。接着看，17÷2=8……1，也是没有问题的啊。所以1.7÷0.2=8……1,自然也是成立的。
为师只能表示“呵呵”，我们先不说太远，先抬杠吧！你觉得1.7÷0.2=8……1对吗？那么我们检验一下，除法和乘法是逆运算，我们转化为乘法检验：被除数=商×除数+余数。被除数=1.7，商×除数+余数=0.2×8+1=2.6；1.7≠2.6，所以不相等。而且从余数小于商的角度也不能理解。到底哪个地方出错了呢？回头看一下：1.7÷0.2=17÷2=8……1，虽然从第一步到第二步到第三步这样看没问题，但是我们改一下：1.7÷0.2=17÷2=8.5,这样就对了。因为我们站在包含除的角度理解：1.7包含了8.5个0.2，或者17包含8.5个2都是对的，也就是我们经常说的1.7÷0.2与17÷2是被除数，除数同时扩大，商是不变的。
但是从现实意义的角度上考虑：17÷2=8……1，这个带余除法站在具体情境的角度，等分除或者包含除都是可以理解的，比如17元钱买东西，每个东西花费2元，我们可以买8个，还剩下1元钱；也可以理解为，17元钱，买了2个相同的两个东西，每个东西8元钱，还剩下1块钱。
1.7÷0.2=8……0.1，这个式子也是可以理解的：1.7元钱，买橡皮，每块橡皮0.2元，买了8块橡皮，剩下0.1元不够买。大家应该能理解，小数除小数在现实意义下，只能理解为“包含除”的意义。
有人可能问了，刚才不是说，带余除法被除数，除数，商，余数都应该是整数范围吗？
这怎么有小数（1.7÷0.2=8……0.1），其实我想说的，一般情况我们遇到1.7÷0.2，小数除以小数，在4,5年级刚学习的时候，我们根据除法运算法则，会把除数变成整数，也就是把1.7÷0.2变为17÷2，然后再计算，计算的结果写成分数（17/2）或者小数形式(8.5),其实商是不变的，也就是人用了一个“转化（复杂化简单）”的方式搞定了这个问题。 但是如果写成1.7÷0.2=8……0.1和17÷2=8……1，大家会发现一个新的发现：被除数除数同时扩大10倍，商8不变，但是余数从0.1变成1扩大10倍，也就是说被除数，除数扩大和缩小，商是不变的，但是余数会跟着扩大和缩小相同的倍数。
人是根据生活经验的积累，会定义或规定一些数学概念：比如，被除数÷除数=商……余数，这个是规定被除数，除数，商，余数都是整数，所以这是一种人为规定，因为在现实意义中我们运用：1.7÷0.2一般情况会变成17÷2的，所以像“1.7÷0.2=8……0.1”，
“3/4÷5/16=12/16÷5/16=2……2/16”，都是对的，但是一般我们规定不这样做。
考一考大家：3/4÷5/16=12/16÷5/16=12÷5=2……2，对吗？为什么？其实也是犯了和刚才的一样的错误，自己琢磨一下吧！
数学中有很多让我们迷惑的地方，但是大家要清楚的是，数学源于生活，源于感性经验的，是通过直观和抽象而得到的，很多规则都是人们根据生活需要或者思维所需选择了一下规则，普遍性的规则，但是规则之外的数学不一定不对，只能说不合乎现有规则，所以我们正常情况下，就按照规则来操作就行，除非有一天孩子们能重新定义一些数学概念，因为随着时代的发展，很多概念不仅仅是数学概念都是需要进阶或者调整的，但是前提是不打破底层规则。
“适者生存”的道理不仅仅在生物界，在数学的世界里也是，人们选择那些自己喜欢的，符合自己行为与思想准则的数学方法，概念等；但是那些被遗忘，被淘汰的方法，有可能反而是最根本的，最符合本性的，但是人总是会扔掉看似笨笨的东西，殊不知这些反而是“根”，请让我们追根溯源，理解，铭记，回望那些最初的数学种子，勿忘初心，方得始终！
